Question

已知函数.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）若对任意的，函数的图像恒在轴上方，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）依题意，求出，由得：，对导函数值进行分析，从表格中可得函数的极小值；

（2）根据题意转化为恒成立，再对实数讨论，判断函数的单调性求出函数的最小值，解出实数的取值范围，或运用参变分离的方法求实数的取值范围.

（1）定义域为.

当时，，

.

令得：，且导函数在附近函数值正负分布如下表：

-

0

+

单调递减

极小值

单调递增

则函数的极小值为.

（2）依题意有：在恒成立，即，

由于，故.

①当时，在上单调递增，

则满足条件.

②当时，在上单调递减，在单调递增，

则，

即，即，

解得：，此时：，

综上：的取值范围是：.

方法二：参变分离法，即

记，则，

，

令，则在小于0，在大于0，

于是：在单调递减，在单调递增，

故：，于是，

综上：的取值范围是：.