Question

已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若函数只有一个极值点，求实数的取值范围；

（3）若函数（其中）有两个极值点，分别为，，且在区间上恒成立，证明：不等式成立.

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，计算，得到切线方程.

（2）求导得到即在上只有一个根，得到，计算得到答案.

（3），故，所以，取，求导得到答案.

（1）因为，所以，令，得，

而，函数在点处的切线方程为.

（2）函数，其的定义域为，

，因为只有一个极值点，

故在上只有一个根，即在上只有一个根，

则，解得，

又当时，；当时，，

∴是在上的唯一一个极值点，此时

（3）由（2）可知，，

而

于是，令，则

∵，∴，∴在上单调递减，

∴，∴成立.