Question

已知函数.

（1）若，试判断函数的零点个数；

（2）若函数在上为增函数，求整数的最大值.

（可能要用到的数据：，，）

Answer

（1）函数在上的零点有且只有一个（2）整数的最大值为6

【解析】

试题求导，由则恒成立，则在上为增函数，由，，可以证明在上的零点个数

已知函数为增函数，则其导函数在其定义区间上恒大于等于零，可以求得所满足的不等式，要使其恒成立则必须，再利用求导，求得函数的的最小值的取值范围，即可求得整数的最大值

解析：（1）因为，易知在上为增函数，则，故函数在上为增函数，又，，所以函数在上的零点有且只有一个.

（2）因为，由题意在上恒成立，因为显然成立，故只需要在上恒成立.

令，则，

因为，

由（1）知在上为增函数，

故函数在有唯一的零点记为.

，

，

则， ，

则当，，在为减函数，

则当，，在为增函数，

故当时，有最小值 ，

令，

则有最小值 ，

因为，则有最小值大约在6.17～6.4之间，故整数的最大值为6.