Question

已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.

Answer

(1)答案见解析；(2).

【解析】

试题（1）对函数求导得到 ，讨论和0和1 的大小关系，在不同情况下求得导函数的正负即得到原函数的单调性，根据极值的概念得到结果；（2）设 ，构造以上函数，研究函数的单调性，求得函数的最值，使得最小值大于等于0即可.

解析：

（Ⅰ），

，

∵的定义域为.

①即时，在上递减，在上递增，

，无极大值.

②即时，在和上递增，在上递减，

，.

③即时，在上递增，没有极值.

④即时，在和上递增，在上递减，

∴， .

综上可知：时，，无极大值；

时， ，；

时，没有极值；

时，， .

（Ⅱ）设 ，

，

设，则，， ，

∴在上递增，∴的值域为，

①当时，，为上的增函数，

∴，适合条件.

②当时，∵，∴不适合条件.

③当时，对于，，

令，，

存在，使得时，，

∴在上单调递减，

∴，

即在时，，∴不适合条件.

综上，的取值范围为.