Question

如图，已知三棱柱中，底面，，，，.，分别为棱，的中点.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若为线段的中点，试在图中作出过、、三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出以该多边形为底，为顶点的棱锥的体积.

Answer

（1）；（2）截面见详解，体积为

【解析】

（1）连接交于点，根据中位线定理找到与的平行线，并找到异面直线与所成角，计算长度，根据余弦定理，可得结果.

（2）画出截面，计算四边形的面积，根据//面，可得到面的距离，结合椎体体积公式，可得结果.

（1）连接交于点，连接

如图

由底面，面，

所以，又

所以，面

所以面，

故四边形为矩形，所以共线

为的中点，所以//，

故异面直线与所成角为

，，，

且，分别为棱，的中点

所以

所以

又且

所以为等腰直角三角形，

故

（2）取的中点连接，

又为线段的中点，所以//

则//，且

过、、三点的平面截该棱柱

所得的多边形为四边形

由（1）可知，//且

所以四边形为直角梯形，

所以

又平面，面，

所以//平面，作

所以

且到截面的距离即

所以