Question

在中，、的坐标分别是，，点满足.轴上一点，满足//，且.

（1）求的顶点的轨迹的方程；

（2）直线：与轨迹交于、两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（为坐标原点），求的取值范围.

Answer

（1）轨迹的方程为；（2）

【解析】

（1）假设点坐标，根据重心知识，可得到点，进一步得到点，利用，可得结果.

（2）联立轨迹的方程与直线的方程，结合韦达定理，根据，可得的坐标，把代入的方程，以及，可得结果.

（1）设

由，

所以可知为的重心，且//

又，,所以

，又

所以

即

所以轨迹的方程为

（2）设，

由四边形为平行四边形，

则，所以

则 ①

由点在轨迹上，所以

化简可得： ②

②代入①可得：

又由②可知，

所以或

所以

的取值范围为