Question

已知函数的图象在处的切线与函数的图象在处的切线互相平行.

（1）求的值；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围；

（3）若数列的前项和为，求证：.

Answer

（1）；（2）；（3）见详解

【解析】

（1）根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得与函数的图象在处的导数，由于切线平行，可得结果

（2）利用分离参数的方法，得到，然后构建函数，利用导数研究函数的单调性，根据的值域与的大小关系，可得结果.

（3）根据（2），得到，然后令代入，两边取对数，进行化简，结合不等式可得，最后求和可得结果.

（1）由，所以，

则，又

所以，据题意可知：

（2）由（1）可知

又对恒成立，

即在恒成立，

令，

当时，

当时，

所以在单调递减，

在单调递增，

所以

所以

所以实数的取值范围为

（3）由（2）可知：

当时，，即

令，所以，两边取对数，

可得，

所以

即

所以

即