Question

在三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，点 是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：.

Answer

（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

（1）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，根据D是AB的中点，E是BC1的中点，可知DE∥AC1，而DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，根据线面平行的判定定理可知AC1∥平面CDB1；
（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三边长AC，BC，AB满足勾股定理则AC⊥BC，又侧棱垂直于底面ABC，则CC1⊥AC，又BC∩CC1=C，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥面BB1C1C又B1C ⊂平面BCC1，根据线面垂直的性质可知AC⊥BC1．

⑴连接BC1交B1C与点O，连接OD.

∵四边形BB1C1C为矩形，∴点O为BC1的中点.

又∵点D为BA的中点 ∴OD∥AC1 ∵OD平面CDB1，AC1平面CDB1

∴AC1∥平面CDB1 .

（2）∵∴AC⊥BC,

∵CC1⊥平面ABC, ，

又CC1∩BC=C ∴AC⊥面BB1C1C

∵B1C面BB1C1C ∴.