Question

已知函数，为实数.

(1)当时，求的最小值；

(2)若存在实数，使得对任意实数都有成立，求的取值范围.

Answer

(1)；(2)

【解析】

（1）根据题意将二次函数配成顶点式,画出函数图像.通过对分类讨论,即可确定在不同区间内的最小值.

（2）根据函数解析式,代入求得,再代入不等式中可得关于的二次不等式.构造函数,即分析对任意实数成立即可.由二次函数性质可知需满足.得不等式组后,可利用求得的取值范围.则在此范围内有解即可.构造函数,即在时有解即可.根据二次函数的对称、与y轴交点情况,分类讨论即可求得n的取值范围.

（1）函数

对应函数图像如下图所示:

(ⅰ)当即时,,

(ⅱ)当即时,,

(ⅲ)当时,.

综上,

（2）因为

则

因为

代入得,变形可得

令,即对任意实数,成立

由二次函数性质可得,代入可得

关于t的不等式组有解即可,

解不等式可得

在上有解即可

令

因为,所以,所以函数与y轴交点位于y轴正半轴

(ⅰ)当对称轴位于左侧时,满足即可,也就是,解不等式组可得,

(ⅱ)当对称轴位于之间时,满足即可,也就是,解得

(ⅲ)当对称轴在右侧时,即 时,函数在时无解.

综上可知

又因为,

∴n的取值范围是