Question

如图，、是离心率为的椭圆：的左、右焦点，过作轴的垂线交椭圆所得弦长为，设、是椭圆上的两个动点，线段的中垂线与椭圆交于、两点，线段的中点的横坐标为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）将代入椭圆方程，可得，再结合离心率为，联立可求得，即可求出椭圆方程；

（2）结合的横坐标为1，可表示出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，可得到的表达式，进而求得的取值范围.

（1）将代入椭圆方程得，则，即，

又离心率，即，所以，解得，，

所以椭圆的方程为；

（2）设，，，若直线的斜率存在且不为0，设为，则，

两式相减得，又，∴，直线的方程为，

即，与椭圆的方程联立得，

则，，

故

，

将代入椭圆方程，得，所以，则，

故.

当直线的斜率为0时，不满足的中点的横坐标为1；

当直线的斜率不存在时，，即为椭圆的左右顶点，

故，

综上所述，.