Question

定义在上的函数满足，且函数在上是减函数.

（1）求，并证明函数是偶函数；

（2）若，解不等式.

Answer

（1），证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到与之间的关系，进而证明；

（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可.

（1）令，则，

得，

再令，，可得，

得，所以，

令，可得，

又该函数定义域关于原点对称，

所以是偶函数，即证.

（2）因为，又该函数为偶函数，所以.

因为函数在上是减函数，且是偶函数

所以函数在上是增函数.又，

所以，等价于或

解得或.

所以不等式的解集为.