Question

已知函数,且.

（1）若函数在上恒有意义，求的取值范围；

（2）是否存在实数，使函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在求出的值，若不存在请说明理由.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据在上恒有意义,则在上恒成立.讨论对称轴的位置,即可求得的取值范围.

（2）讨论与两种情况,结合复函函数单调性即可判断是否符合单调递增.再根据最大值为,代入的值,解方程即可求解.

（1）函数在上恒有意义

即在上恒成立

令

对称轴为,开口向上

当时,只需,即,解得,所以

当时,只需,即,解得,所以

当时, 只需,即,解得,所以

综上可知, 的取值范围为

（2）函数对称轴为

由复合函数单调性的性质可知:

当时为单调递减函数, 在上为单调递增函数,所以在上单调递减,不合题意

当时, 为单调递增函数, 若在上单调递增,则在上为单调递增函数.

所以由对称轴在左侧可得

因为最大值为2,则

即

即,化简可得

解得或

因为

所以

当函数在区间上为增函数，且最大值为