Question

已知函数，.

（1）若，求证：函数恰有一个负零点；（用图象法证明不给分）

（2）若函数恰有三个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由单调性的性质可判断出在上单调递减，利用零点存在定理可知存在唯一的使得，由此可证得结论；

（2）令，结合函数图象可知，若恰有三个零点，则方程必有两根，且，或，；当时可求得，不合题意；当，时，根据二次函数图象可得到不等式组，由此解得结果.

（1）若，则

时，单调递减，单调递减

当时，单调递减

又，，则存在唯一的使得

即函数在区间恰有一个零点

（2）令，，要使得函数恰有三个零点

图象如下图所示：

则方程必有两根，且，或，

①若，时，令

则，即，解得：

②若，则，即 ，不合题意

综上所述：实数的取值范围为