Question

如图所示，在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，设线段A₁C与平面ABC₁D₁交于点Q，求证：B，Q，D₁三点共线．

Answer

证明见解析

【解析】

如下图所示，连接A1B，CD1．易证BD1⊂平面A1BCD1． BD1⊂平面ABC1D1．即

平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，下证 Q∈平面A1BCD1．Q∈平面A1BCD1．即可.

如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．

∴BD1⊂平面A1BCD1．

同理BD1⊂平面ABC1D1．

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．

∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1．

又∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1．

∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．