Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，若将△BCD沿着BD折起至△BC'D，使得AD⊥BC'．

（1）求证：平面C'BD⊥平面ABD；

（2）求C'D与平面ABC'所成角的正弦值；

（3）M为BD中点，求二面角M﹣AC'﹣B的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）；（3）．

【解析】

（1）先证明、，再利用面面垂直的判定即可得证；

（2）先证明面，再求即可得解；

（3）建立空间坐标系，分别求出两面的法向量即可得解.

（1）过点作的垂线交于点，得，，∴，

又，∴，∴，∴，

又，且，平面，

∴平面，又平面，∴平面⊥平面；

（2）由（1）平面，可知：平面⊥平面，

又，平面平面，

∴面，∴与平面所成角为，

由（1）平面可知：，∴，∴，

∴，即与平面所成角的正弦值为；

（3）以为原点，、所在直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可知，

，，，，

又为的中点，∴，

∴，，，

∴平面的一个法向量，

平面的一个法向量，

∴，

由图可知二面角的大小为锐角，

∴二面角的余弦值为．