Question

已知圆C过点A(2,6),且与直线l₁: x+y－10=0相切于点B(6,4).

(1)求圆C的方程；

(2)过点P(6,24)的直线l₂与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l₂的斜率；

(3)在直线l₃: y=x－2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F,  使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.

Answer

（1）；（2）直线的斜率为或者不存在；（3）存在，或.

【解析】

（1）设圆心坐标，半径为，通过垂直关系和半径关系求出未知数即可；

（2）若△CMN为直角三角形,则圆心到直线的距离为，即可求解斜率；

（3）使△QEF为正三角形，即，求出点Q的坐标.

（1）设圆心坐标，半径为，圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4)，

所以

即，解得，所以

所以圆C的方程：；

（2）过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,

，所以△CMN为等腰直角三角形，且，

所以圆心到直线l2的距离为，

当直线l2的斜率不存在时，直线方程，

圆心到直线l2的距离为5，符合题意；

当直线l2的斜率存在时，设斜率为，

直线方程为，即

圆心到直线l2的距离为，

即，，

解得，

直线的斜率为或者不存在；

（3）若直线l3: y=x－2上存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形, 即，在中，

设，即

解得或

所以点的坐标为或.