Question

如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝120°，∠ACC'＝90°，且平面AB'C⊥平面ABC，二面角A'﹣AC﹣B'为30°，E、F分别为A'C、B'C'的中点．

（1）求证：EF∥平面AB'C；

（2）求B'到平面ABC的距离；

（3）求二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）6（3）．

【解析】

（1）利用线面平行的判定，求得后即可得解；

（2）过作平面,转化条件后即可得解；

（3）建立空间坐标系，求出两个面的法向量即可得解.

（1）证明：∵三棱柱中，四边形是平行四边形，

，∴是的中点，

∵是的中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）过作平面，交延长线于点，

过点作的平行线，交于点，连结，

则是二面角的平面角，

∵,,，且平面平面，二面角为,

∴，，

∴，，

∴，∴，

∴到平面的距离．

（3）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为．

则．

∴二面角的余弦值为．