Question

已知函数，，（其中是自然对数的底数）.

(1)若，求函数在上的最大值.

(2)若，关于x的方程有且仅有一个根，求实数k的取值范围.

(3)若对任意的、，，不等式都成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）若，则，利用导数法可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合又，可得函数在上的最大值；

（2）若，关于的方程有且仅有一个根，即有且只有一个根，令，可得，进而可得当时，有且只有一个根．

（3）设，因为在，单调递增，故原不等式等价于在、，，且恒成立，当恒成立时，；当恒成立时，，综合讨论结果，可得实数的取值范围．

【解析】
（1）若，则，

，

时，，时，，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

又，

故函数的最大值为．

（2）由题意得：有且只有一个根，

令，则

故在上单调递减，上单调递增，上单调递减，

所以，

因为在单调递减，且函数值恒为正，又当时，，

所以当或时，有且只有一个根．

即

（3）设，因为在，单调递增，

故原不等式等价于在、，，且恒成立，

所以在、，，且恒成立，

即，在、，且恒成立，

则函数和都在单调递增，

则有，在，恒成立，

当恒成立时，因为在单调递减，

所以的最大值为，所以；

当恒成立时，因为在单调递减，在单调递增，

所以的最小值为，所以，

综上：．