Question

已知函数.

（1）判断的单调性并用定义证明；

（2）若对任意的，总有，求实数的取值范围.

Answer

（1）在上是增函数；证明见解析（2）

【解析】

（1）利用定义法：设，再判断的符号即可判断；

（2）原命题等价于，再解不等式即可得解.

【解析】
（1）在上是增函数.

证明：设，且，

.

∵，∴，

∴.

又∵，

∴，

∴

即，

∴在上是增函数.

（2）【解析】
由（1）知在上单调递增，

∴当时，，.

∵，∴，

即，解得.

又∵，

∴.