Question

在平面直角坐标系中，的离心率为，且点在此椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与圆相切于第一象限内的点，且与椭圆交于.两点.若的面积为，求直线的方程.

Answer

（1）（2）.

【解析】

（1）将离心率中的关系，转化为关系，点代入方程，即可求解；

（2）根据已知可得，设直线方程，由直线与圆相切，可得出关系，将直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，进而求出两点坐标关系，求出且等于，即可求解.

（1），

可得椭圆方程为，

将点代入，解得方程为

（2）

因为直线与单位圆相切于第一象限内的点，

可设

与相切，圆心到直线距离为

， ①

设，

由

可得

，

②

将①代入②，得

解之可得：，

或（舍），

代入①式可得，

因为，，，

所以直线的方程为.