Question

某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为，高为，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I圆柱和第II圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II圆柱上下底面圆的内接正方形.

（1）当时，若第I圆柱和第II圆柱的体积相等，求该手王作品的体积；

（2）对于给定的和，求手工作品体积的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得第I圆柱和第II圆柱高相等为4，等于圆柱底面直径，第I圆柱的球体最大直径为4，再由条件可求出正四棱柱的底面边长，从而求出体积，即可求解；

（2）设第I圆柱的高为，则第II圆柱的高为，求出正四棱柱体积为，而球半径为与较小值，对分类讨论，当是，球的半径为，体积定值，只需求最大值即可；当，球最大半径为，求出球的体积与正四棱柱体积和，通过求导，求出最大值，对比两个范围的最大值，即可求解.

（1）因为第I圆柱和第II圆柱的体积一样大，

所以它们的高一样，可设为

第I圆柱的球体直径不超过和

因此第I圆柱内的最大球体半径即为

球体体积

因为正四棱柱的底面正方形内接于半径为的圆

所以正方形的对角线长为，边长为

正四棱柱体积，

手工作业的体积为.

（2）设第I圆柱的高为，则第II圆柱的高为，

①当时，第I圆柱内的球体直径应不超过和，

故球体的最大半径应为

由（1）可知，此时第II圆柱内的正四棱柱底面积为，

故当时，最大为，

手工作品的体积最大值为.

②当时，第I圆柱内的球体直径应不超过和，

故球体的最大直径应为，

球体体积，

正四棱柱体积

所以手工作品的体积为.

.

令

递减

极小

递增

，

因为，

所以

所以当时，

手工作品的体积最大值为