Question

设为实数，已知函数的导函数为，且.

（1）求的值；

（2）设为实数，若对于任意，不等式恒成立，且存在唯一的实数使得成立，求的值；

（3）是否存在负数，使得是曲线的切线.若存在，求出的所有值：若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出，再由，即可求出值；

（2）由（1）的结论将问题转化为恒成立，设，即为，通过导数法求出，求出的取值范围，再由唯一解，求出的值；

（3）设切点的横坐标为，求出切线斜率，结合已知得，将切点坐标代入，整理得到关于的方程，转化为关于的方程正数解的情况，即为与直线在第一象限交点情况，通过求导，求出单调区间，以及最值，即可求解.

（1）因为，

所以，

故.

（2）因为，

所以恒成立.

记，

则，

因为，且，

所以，

因此为时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，即，

当时，，

故方程无解，

当时，当时，由单调性知

所以存在唯一的使得，即.

（3）设切点的横坐标为，则

，即，

，即

原命题等价于存在正数使得方程成立.

记，

则，

令，则，

因此当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，，

则.

故存在唯一的正数使得方程成立，

即存在唯一的负数，

使得是曲线的切线.