Question

设数列是公差不为零等差数列，满足；数列的前项和为，且满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入个数，使成等差数列，

（i）求；

（ii）是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）（i）（ii）及.

【解析】

（1）设数列的公差为，将已知条件用表示，解方程组，即可求出；令，得出为等比数列，即可求出通项；

（2）（i）由题意成等差数列，求出的通项公式，进而求出就为数列的前项和，利用错位相减法即可求解；

（ii）根据已知得出的函数关系，利用，结合函数值的变化，即可求解.

（1）设数列的公差为

则由条件，

可得，，

又由，

可得，

将代入上式得，

由 ①

当时， ②

①-②得：

又

是首项为，公比为的等比数列，

故

（2）①在和之间插入个数，

因为成等差数列，设公差为

则，

则，

，

①

则 ②

①-②得：，

②若，因为，所以，

则，

，

从而，

故，

当时，，

当时，，

当时，，

下证时，有，

即证，

设，

则，

在上单调递增，

故时，

即，

从而时，不是整数

故所求的所有整数对为及.