在极坐标系中，己知直线
的极坐标方程是
，圆
的极坐标方程是
，求直线被圆截得的弦长.
.选修4-2:矩阵与变换
已知
，矩阵
所对应的变换
将直线
变换为自身,求a,b的值．
设数列
是公差不为零等差数列，满足
；数列
的前
项和为
，且满足
.
（1）求数列、的通项公式；
（2）在
和
之间插入1个数
，使
成等差数列；在和
之间插入2个数
，使
成等差数列；……；在
和
之间插入个数
，使
成等差数列，
（i）求
；
（ii）是否存在正整数
，使
成立？若存在，求出所有的正整数对
；若不存在，请说明理由.
设
为实数，已知函数
的导函数为
，且
.
（1）求的值；
（2）设
为实数，若对于任意
，不等式
恒成立，且存在唯一的实数
使得
成立，求的值；
（3）是否存在负数
，使得
是曲线
的切线.若存在，求出的所有值：若不存在，请说明理由.
某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为
，高为
，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I圆柱和第II圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II圆柱上下底面圆的内接正方形.
（1）当
时，若第I圆柱和第II圆柱的体积相等，求该手王作品的体积；
（2）对于给定的和
，求手工作品体积的最大值.
在平面直角坐标系
中，
的离心率为
，且点
在此椭圆上.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线
与圆
相切于第一象限内的点
，且与椭圆交于
.两点.若
的面积为
，求直线的方程.
