Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为3的疋方形，侧面与底面垂直，过点作的垂线，垂足为，且满足，点在棱上，

（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）当取何值时，二面角的正弦值为.

Answer

（1）.（2）

【解析】

在底面内过点作，交与，由已知可证底面，建立空间直角坐标系，求出坐标.

（1）由条件得出坐标，求出平面法向量，根据向量的线面角公式，即可求解；

（2）设，分别求出平面、平面的法向量，根据向量的面面角公式，结合已知，得到关于的方程，求解即可得出结论

【解析】
因为侧面底面，

，平面，

平面平面，

所以底面，

在底面内过点作，

交与，则，

又底面，

所以，，

以，，为轴建立空间直角坐标系，

，

（1）点，因为，

所以点，

，

，，

设平面的一个法向量为，

满足，

取，法向量为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）设，

设平面的一个法向量为，

满足，

取，法向量为，

设平面的一个法向量为，

满足，

取，法向量，

由题意

整理得，，

，即.