Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称函数的一个上界.已知函数，.

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在第（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.

Answer

(1)；(2)；(3).

【解析】

试题

（1）由函数为奇函数可得，即，整理得，可得，解得，经验证不合题意．（2）根据单调性的定义可证明函数在区间上为增函数，从而可得在区间上的值域为，故，从而可得所有上界构成的集合为．（3）将问题转化为在上恒成立，整理得在上恒成立，通过判断函数的单调性求得即可得到结果．

试题解析：

（1）∵函数是奇函数，

∴，即，

∴，

∴，

解得，

当时，，不合题意，舍去．

∴.

（2）由（1）得，

设，

令，且，

∵ ；

∴在上是减函数，

∴在上是单调递增函数，

∴在区间上是单调递增，

∴，即，

∴在区间上的值域为，

∴，

故函数在区间上的所有上界构成的集合为.

（3）由题意知，在上恒成立，

∴，

∴，

因此在上恒成立，

∴

设，，，由知，

设，则

，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最大值为，在上的最小值为，

∴．

∴的取值范围.