已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（...

已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

（1）；（2）在上为减函数，证明见解析；（3）【解析】（1）由是上的奇函数，可得，可求出的值；（2）由（1）可知的表达式，任取，且，比较与0的大小关系，可得出函数的单调性；（3）由是奇函数，可将不等式转化为，再结合函数是上的减函数，可知对一切，恒成立，令即可求出答案. （1）因为是上的奇函数，所以，即，即. 经验证，故时，满足题意. （2）由（1）知，，任取，且，则，函数在上是增函数，所以. 又，则，即， ∴在上为减函数. （3）因为是奇函数，从而不等式等价于，又因为为上减函数，所以由上式推得，即对一切，恒成立，则，即.

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考点分析：

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某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．