Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据题意可证明平面底面,由面面垂直的性质可证明平面;

（2）由题意可证明,则以为坐标原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可利用法向量法求得两个平面形成二面角的余弦值大小,结合同角三角函数关系式,即可求得求二面角的正弦值.

（1）证明：∵底面是正方形,

∴,

∵侧面底面,侧面底面,

∴由面面垂直的性质定理,得平面.

（2）设,的中点为,的中点为,

则,.由面面垂直的性质定理知平面,

又平面,故.

以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.

∵侧面为正三角形,

∴,

则,,,,

∵为的中点,

∴,

∴,,

设平面的法向量,

则,即,即,

所以可取,

平面的法向量可取,

于是,

由同角三角函数关系式可求得

所以,二面角的正弦值为.