Question

设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，.

（1）求和的通项公式；

（2）记，，证明：，.

Answer

（1）.

（2）见解析

【解析】

（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,即可代入得方程组,进而求得和的通项公式;

（2）根据题意,可知为等差与等比乘积形式,利用错位相减法可求得的前n项和.根据前n项和的表达式,即可证明不等式成立.

（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则.

由题意,得,解得：,

故,

.

（2）∵,设数列的前项和为,

∴ ①

∴ ②

∴①-②得：

,

∴,

又∵,

∴,,

∴,

即,.