Question

已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积为、，求的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）设出点的坐标,代入椭圆方程,根据,可得方程组,求得的等量关系,结合焦距长即可求得,得椭圆方程.

（2）讨论直线斜率存在与不存在两种情况.当斜率不存在时,易求得,即可求得;当斜率存在时,用点斜式表示出直线方程,联立椭圆,整理成关于的一元二次方程,利用韦达定理表示出.结合直线方程,即可表示出.将等式变形,结合基本不等式即可求得最大值.

（1）椭圆：,点是椭圆上异于、的任意一点

设点,则,①

∵,②

∴联立①②得,

∴,

又∵,∴,

∴,即,

∴,∴,

∴椭圆的标准方程为.

（2）由题意知,

①当直线的斜率不存在时,,于是,

②当直线的斜率存在时,设直线：,

联立,得.

设,,根据韦达定理,得,,

于是

,

当且仅当时等号成立,

综上,的最大值为.