已知函数
，
.
（1）解不等式
；
（2）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
点
是曲线
：
上的动点，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点顺时针旋转
得到点
，设点的轨迹方程为曲线
.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线
与曲线、分别交于
、
两点，定点
，求
的面积.
已知函数
.
（1）若曲线
在
处的切线方程为
，求实数
，
的值；
（2）若
，且
在区间
上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若
，且
，讨论函数
的单调性.
已知椭圆
：
的左右顶点分别为
，
，点
是椭圆上异于
、
的任意一点，设直线
，
的斜率分别为
、
，且
，椭圆的焦距长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点
的直线
交椭圆于
、
两点，分别记
，
的面积为
、
，求
的最大值.
已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用
表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望.
设
是等差数列，
是等比数列，公比大于0，已知
，
，
.
（1）求和的通项公式；
（2）记
，
，证明：
，.
