Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求四棱锥的体积.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）由底面是正方形，条件，再由侧面底面，利用面面垂直的性质定理，得平面，所以，再由，利用线面垂直的判定定理得证.

（2）由侧面底面，得底面，求得到底面的距离，再由.求解.

（1）证明：∵底面是正方形，∴，

∵侧面底面，侧面底面，

∴由面面垂直的性质定理，得平面，

∵平面，∴，

又∵是正三角形，为的中点，∴，

又∵，∴平面.

（2）

过点作，∵侧面底面，

侧面底面，∴底面，

∵为正三角形，

∴，

∵为的中点，

∴到底面的距离，

∴四棱锥的体积.