Question

如图，底面是边长为2且的菱形，平面，，且，.

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上，且三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）.

【解析】

（1）证明平面，即可由线面垂直得面面垂直（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，根据法向量夹角公式即可求解.

（1）因为平面，，所以平面，

故

又四边形为菱形，故

故平面，又平面，

因此平面平面

（2）解法一：取线段中点，连接，以点为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

因为，所以

则点，，，，

，，

设平面的法向量为，则

可取

设平面的法向量为，则

可取

故

因此二面角的正弦值为.

解法二：前同法一，平面的法向量为

点到平面的距离

作于点，由，得

因此二面角的正弦值为，即.