Question

如图1，梯形中，，，，为的中点，将沿翻折，构成一个四棱锥，如图2.

   

（1）求证：异面直线与垂直；

（2）求直线与平面所成角的大小；

（3）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析（2）60°（3）

【解析】

（1）取中点，连接，通过证明平面，可得；

（2）由（1）可得为直线与平面所成角，求出即可；

（3）证明平面，可得，可得，进而可得为等边三角形，则可得平面，求出即可.

（1）在图1中，取中点，连接，由已知，得四边形为矩形，且，得，

则为等边三角形，故，

故图2中，，又与是相交直线，

得平面，则.

（2）由（1），得平面，则直线与平面所成角为，

即直线与平面所成角为60°.

（3）在平面内做，交于，

因为平面，所以平面平面，

又平面与平面的交线为，

所以平面.

，

∴，

∴.

中，，则，

故为等边三角形.在内作，交于，

因为平面，所以平面平面，又平面与平面的交线为，

∴平面，∵，∴点到平面的距离为.