Question

已知圆，圆内一点，动圆经过点且与圆内切.

（1）求圆心的轨迹的方程.

（2）过点且不与坐标轴垂直的直线交曲线于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由圆与圆内切可得，由椭圆的定义可得轨迹的方程；

（2）设直线的方程为，与的方程联立，消去得：，利用韦达定理，可求出线段的中点坐标，进而可求出垂直平分线的方程为，令，可得点横坐标为，进而可得取值范围.

（1）∵圆与圆内切，圆的半径为4，得，而，

∴，∴圆心的轨迹是以为焦点的椭圆.

∴.∴.∴.

∴圆心的轨迹的方程为.

（2）设直线的斜率为，由直线不与坐标轴垂直，故，直线的方程为，将直线的方程与的方程联立得：消得：，

由韦达定理得：，设线段的中点坐标为，

则.

则垂直平分线的方程为.令，点横坐标为：，

因为，所以，

故点被坐标的取值范围是：.