Question

已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）令，若时有最大值，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）求出，则可得切线的斜率，利用点斜式可得直线方程；

（2）求出，通过求导可得的单调性，再对，讨论，研究的单调性，研究其最大值的存在性，可得实数的取值范围.

（1），则，

所以曲线在处的切线方程为：，

整理得：.

（2），

所以.

令，则，由得，

则在单调递增，又，即在上有唯一零点.

①当时，由得，所以在区间单调递增；在区间单调递减；此时存在最大值，满足题意；

②当时，由有两个不同零点及，

所以在区间单调递减；在区间单调递增；

此时有极大值，由有最大值，可得：，解得，即；

综上所述：当时，在有最大值.