Question

已知函数，．

（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（2）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题（1）把函数化简为，这个分段函数是由两个二次函数构成，右边是开口向上的抛物线的一部分，对称轴是，左边是开口向下的抛物线的一部分，对称轴是，为了使函数为增函数，因此有；（2）方程有三个不相等的实数根，就是函数的图象与直线有三个不同的交点，为此研究函数的单调性，由（1）知当时，在上单调递增，不合题意，当时，，在上单调增，在上单调减，在上单调增，关于的方程有三个不相等的实数根的条件是， 由此有，因为，则有，由于题中是存在，故只要大于1且小于的最大值；当时同理讨论即可．

试题解析：（1），

当时，的对称轴为：；

当时，的对称轴为：；

∴当时，在R上是增函数，

即时，函数在上是增函数；

（2）方程的解即为方程的解．

①当时，函数在上是增函数，

∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根；

②当时，即，

∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，

∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，

∵∴．

设，

∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，

∴，

又可证在上单调增

∴∴；

③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，

∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；

即，∵∴，设

∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，

∴，又可证在上单调减∴

∴；

综上：．