Question

如图1，在直角梯形ABCD中，，，，四边形ABEF是正方形.将正方形ABEF沿AB折起到四边形的位置，使平面平面ABCD，M为的中点，如图2.

图1图2

（1）求证:；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用正方形的性质，以及线面垂直的性质，证得，得到平面，即可得到；

（2）以点B为坐标原点,分别以BC,所在直线为x,z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）因为为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以

设，则,，且，

平面，又平面，,

（2）如图，以点B为坐标原点，分别以BC,所在直线为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,

所以,,，

设平面的一个法向量为，

由，得，令,得，，所以，

平面的法向量为，

设平面与平面所成锐二面角为θ，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.