Question

已知抛物线E：（）的焦点为F，圆C:，点为抛物线上一动点.当时，的面积为.

（1）求抛物线E的方程；

（2）若，过点P作圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求面积的最小值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据，由抛物线的定义求得，进而得到，再结合，列出关于的方程，即可求得的值，得到抛物线的方程；

（2）设,,且，由圆心到直线PM当距离为1，利用点到直线的距离公式化简得，同理得到，进而得到为的两根，求得，得到面积的表达式，利用均值不等式，即可求解.

（1）由题意，抛物线E:（）的焦点为，

圆的圆心C为，

因为，由抛物线的定义可得，解得，

又，所以，

又，即，整理得，

所以或

解得或，

又，所以，所以抛物线方程为.

（2）设,,且，不妨设P在y轴右侧，

故直线PM当方程为，即，

由题设知，圆心到直线PM当距离为1，即，

化简上式得，同理可得，

由上可知为的两根，

则，且，

所以，

所以，

设,，，

所以面积的最小值.