Question

已知，且，函数

（1）在上的极值点个数；

（2）研究函数在的零点个数.

Answer

（1）1个；（2）无零点

【解析】

（1）求得，，得出在上单调递增，由，得到，，得到存在，使得，进而得到函数单调性，即可得到答案.

（2）由（1）得出函数，且，设,，转化为在恒成立，结合的单调性，即可求解.

（1）由题意，函数，

则，，

所以在上单调递增，

因为，所以，，

所以存在，使得，

所以当，，函数在递减，

当，，函数在递增，

所以在存在唯一的极小值点，没有极大值点，所以极值点有1个.

（2）由（1）知在递减，在递增，其图像如图所示，

可得，，，且，

又由，即，

设,，

则在恒成立，

所以故在单调递减，

所以，

所以在恒成立，即在无零点.