Question

已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为. 判断四边形是否为梯形，并说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（2）四边形不可能为梯形，理由详见解析.

【解析】

试题（Ⅰ）（Ⅰ）直线过点，且斜率为k，所以直线方程可设为，若焦点在直线的下方，则满足不等式，代入求的范围；（Ⅱ）设直线的方程为，，分别与抛物线联立，因为直线和抛物线的一个交点坐标已知，故可利用韦达定理求出切点的横坐标，则可求在点处的切线斜率，若四边形是否为梯形，则有得或，根据斜率相等列方程，所得方程无解，故四边形不是梯形.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
抛物线的焦点为.由题意，得直线的方程为，

令，得，即直线与y轴相交于点.因为抛物线的焦点在直线的下方，

所以，解得，因为，所以.

（Ⅱ）【解析】
结论：四边形不可能为梯形.理由如下：

假设四边形为梯形.由题意，设，，，

联立方程，消去y，得，由韦达定理，得，所以.

同理，得.对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为，抛物线在点处的切线的斜率为.

由四边形为梯形，得或.

若，则，即，因为方程无解，所以与不平行.

若，则，即，因为方程无解，所以与不平行.所以四边形不是梯形，与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形.