Question

函数y=x²+ax+b的图象与坐标轴交于三个不同的点A、B、C，已知△ABC的外心在直线y=x上，求a+b的值.

Answer

【解析】

根据外心的几何意义可得，外心在直线x上，由题可得知△ABC的外心在直线y=x上，外出外心坐标，根据几何意义建立方程求解.

设外心为点P，

由y=x2+ax+b，可得函数的对称轴为x，

∴△ABC的外心在直线x上，

∵△ABC的外心在直线y=x上，

∴外心P的坐标为（，），

对于y=x2+ax+b，令x=0，则y=b，

∴C（0，b），

设A（m，0）（m＜0），B（n，0），（n＞0）

则m+n=﹣a，mn=b

∵|PA|2=（m）2a2=（m）2a2，

|PB|2=（n）2a2=（n）2a2，

|PC|2=（b）2a2=（b）2a2，

∴（m）2a2=（b）2a2=（n）2a2，

整理可得m=b，n=﹣a﹣b，

∴mn=m=b，

∴n=1，

∴a+b=.