Question

在平行四边形ABCD中，AB=1，AD，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使AB⊥DC，连接AC，得到三棱锥A﹣BCD.

(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；

(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.

Answer

(1)证明见解析；(2)60°.

【解析】

（1）通过证明AB⊥平面BCD，得面面垂直；

（2）取BC中点E，过点E作EF⊥AC交AC于点F，连接DE，DF，EF，证明∠DFE为所求二面角，即可计算求解.

(1)证明：∵AB=1，AD，且∠BAD=45°，

∴BD=1，则AD2=AB2+BD2，即AB⊥BD，

又AB⊥DC，BD∩DC=D，且都在平面BCD内，

∴AB⊥平面BCD，

∵AB在平面ABD内，

∴平面ABD⊥平面BCD；

(2)取BC中点E，过点E作EF⊥AC交AC于点F，连接DE，DF，EF，

∵BD=CD=1，

∴DE⊥BC，

∵AB⊥平面BCD，DE⊂平面BCD，

∴AB⊥DE，

∵AB∩BC=B，且都在平面ABC内，

∴DE⊥平面ABC，

∵AC⊂平面ABC，

∴AC⊥DE，

又EF⊥AC，DE∩EF=E，且都在平面DEF内，

∴AC⊥平面DEF，

∴∠DFE为所求二面角，

在Rt△DEF中，∠DEF=90°，，，

∴，

∴∠DFE=60°，即二面角B﹣AC﹣D的大小为60°.