Question

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．

（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

Answer

（1）l∥平面PAC，见解析 （2）见解析

【解析】

（1）直线l∥平面PAC，证明如下：

连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，

又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．

而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．

因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．

（2）（综合法）如图1，连接BD，由（1）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．

因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．

已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l．

而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．

连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．

故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．

由，作DQ∥CP，且．

连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，

从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．

连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，

故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．

又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，

于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，

从而．

（2）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．

连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（1）可知交线l即为直线BD．

以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设CA=a，CB=b，CP=2c，则有

．

于是，

∴=，从而，

又取平面ABC的一个法向量为，可得，

设平面BEF的一个法向量为，

所以由可得．

于是，从而．

故，即sinθ=sinαsinβ．