Question

已知曲线C_n：x²﹣2nx+y²=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n>0）的切线l_n，切点为P_n（x_n，y_n）.

(1)求数列{x_n}与{y_n}的通项公式；

(2)证明：.

Answer

(1)xn，yn；(2)证明见解析.

【解析】

（1）联立直线和曲线方程通过判别式求出kn，即可求得切点坐标公式；

（2），利用放缩法，即有，证明左侧不等式，构造函数f（x）=xcosx，利用单调性证明右侧不等式.

(1)设直线ln：y=kn（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0，

得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，

则△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，

∴kn（负值舍去），

可得xn，yn=kn（1+xn）；

(2)证明：，

由4n2>4n2﹣1，即为，

即有，

x1x3x5…x2n﹣1，

可得x1x3x5…x2n﹣1；

由，设f（x）=xcosx，

f′（x）=1sinx，由0，

可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0，]递增，

由f（0）0，f（）cos（coscos）<0，

可得xcosx，

即有cos，即cos，

则.