Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当存在三个不同的零点时，求实数的取值范围.

Answer

（1）讨论见解析（2）

【解析】

（1）求导求出，对（或）是否恒成立，作为参数分类标准分类标准，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；

（2）由（1）可得，函数有三个零点须，求出，得出，

（为的极值点）并证明，根据零点存在性定理存在一个零点，再由可求另一零点，即可求解.

（1）,

.

令..

若，即，则，即，

∴在上单调递减；

若，即.

由，

解得，.

∴当时， ，即，

在上单调递减；

当时， ，即，

在上单调递增；

（2）由（1）知，，在上单调递减，

至多只有一个零点，不合题意；

当时， 在上单调递减，

在上单调递增，至多有三个零点，

，

，

设 ，

，

在上减函数，，

，存在，使得，

又，

恰有三个不同的零点：，

存在三个不同的零点时，实数的取值范围是.