Question

如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、对立统一的哲学理念．定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题正确的是___________.

（1）函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；

（2）函数可以是某个圆的“太极函数”；

（3）若函数是某个圆的“太极函数”，则函数的图象一定是中心对称图形；

（4）对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个.

Answer

（1）（4）

【解析】

（1）将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，即可判断是该圆的“太极函数”，故（1）正确.

（2）画出函数的图像，即可判断（2）错误.

（3）设为一次函数，可知为“太极函数”，但不一定关于原点对称，（3）错误.

（4）只要过圆心的一次函数，都是“太极函数”，故（4）正确.

（1）将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，

则正弦函数是该圆的“太极函数”.

故有无数个圆成立，（1）正确.

（2）函数的图像如下：

故不可能为圆的“太极函数”.故（2）错误.

（3）若是一次函数，则可将过圆心的圆的周长和面积同时平分，

所以是该圆的“太极函数”，但不一定关于原点对称，

故（3）错误.

（4）过圆心的一次函数都可以将圆的周长和面积同时平分，

故（4）正确.

故答案为：（1），（4）