Question

如图，在三棱锥中，顶点在底面上的投影在棱上，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）已知点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）见解析（2）（3）存在，

【解析】

（1）由题知：平面，所以平面平面，因为，所以平面，所以.又根据勾股定理得到，所以平面.

（2）首先以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，找到相应点的坐标，再分别求出平面和平面的法向量，带入公式计算即可.

（3）首先设，，根据平面，得到，即可求出，再计算即可.

（1）因为顶点在底面上的射影在棱上，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，

因为，所以，

因为平面平面，

平面，所以平面，

又平面，所以，

由，，

得，所以，

因为且平面，

平面，平面，

所以平面.

（2）连接，

因为为的中点，为的中点，，

所以，

如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

，

，

设为平面的一个法向量，

则.取，得，

设平面的一个法向量，

则，取，则.

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为.

（3）设，，

因为平面，

所以，，

所以，，.