Question

已知函数()，设函数在区间上的最大值为.

(1)若，求的值；

(2)若对任意的恒成立，试求的最大值.

Answer

(1)；(2)

【解析】

（1）根据二次函数的单调性得在区间，单调递减，在区间单调递增，从得而得；

（2）①当时，在区间上是单调函数，则，利用不等式的放缩法求得；②当时，对进行分类讨论，求得；从而求得k的最大值为.

(1)当时，，结合图像可知，

在区间，单调递减，在区间单调递增.

.

(2)①当时，在区间上是单调函数，则，

而，，

，

∴.

②当时，的对称轴在区间内，

则，又，

（ⅰ）当时，有，，则

，

（ⅱ）当时，有，则

，

所以，对任意的都有，

综上所述，时在区间的最大值为，

所以k的最大值为.