Question

已知数列，.

(1)记，证明:是等比数列；

(2)当是奇数时，证明:；

(3)证明:.

Answer

(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析

【解析】

（1）对递推关系进行变形得，从而证明是等比数列；

（2）由(1)得，代入所证式子，再利用放缩法进行证明；

（3）由(2)可知，对分偶数和奇数计论，放缩法和等比数列求和，即可证明结论.

(1)∵，∴，且

所以，数列是首项为，公比为3的等比数列.

(2)由(1)可知

当k是奇数时，

(3)由(2)可知，

当为偶数时，

当为奇数时，

所以.